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  • [教学研究]数学教学中培养学生解决问题的策略
  • 作者: 幸福相伴88时间: 2015/5/20 20:04:02分类: 无分类
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    心理学家认为,问题就指不能直接用已有的知识解决,但可以间接应用已有知识解决的情境。所有的问题都含有3个基本成分:第一,给定,一组已知的关于问题的条件的描述,也就是问题的起始状态。第二,目标,关于构成问题的描述,即问题要求的答案。第三,障碍,正确的解决方法不是直接的。显而易见的,必须间接通过一定的思维活动才能找到答案。数学问题,也由这三个部分组成的,并且有机结合在一起。问题的条件和答案之间有着内在联系,其间存在障碍,需要进行思维活动运用策略解决问题。

    “形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神”是《数学课程标准》确定的课程目标之一。在人类的长期解决问题的过程中,已经总结出了一些解决问题的好方法,即解决问题的策略。数学教师就要在教学时以问题为载体,呈现现实的背景,在实践应用中启发学生根据数据信息思考,形成解决问题的策略。数学知识本身是非常重要的,但它并不是唯一的决定因素,真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用,并使其终生受益的是解决问题的策略。“策略”顾名思义是计策与谋略,解决数学问题的策略有转化法、画图法、枚举法、假设法、逆推法、统筹法等等。

    一、化难为易,转化的策略。

    转化的策略是指在解决某一问题时,不直接对问题进行解决,而是对它先进行变形,把其转化为某个已经解决的问题或较容易解决的问题。从哲学的角度看,是把新矛盾转化为旧的已解决的矛盾,使新矛盾迎刃而解,化难为易,化繁为简,化未知为已知的策略。转化的策略,在数学教学中是一种很好的解决问题的策略。

    在数学教学中,我们同样也可以引导学生运用转化的策略解决问题。如:在“圆的面积”的教学中,新课开始出示一个圆,圆的面积可能与什么有关这样的一个问题?学生答可能与直径、半径有关。求圆的面积可能会有什么困难?发挥集体的智慧,用手中的学具以小组为单位动手操作。给学生充分的时间让学生动手操作,发挥了学生的想象力。学生可能会想出很多种方法,我举一种比较独特的方法。

                        

    对折把圆平均分成四份,每份是一个扇形,教师引导学生想怎样才能使每一份更接近三角形,引导学生把圆平均分32份,64份,通过操作实验,课件辅助能把圆分成更多的份数,分的份数越多,每一份越接近三角形。求出一个三角形的面积,再乘分的份数推导出圆的面积公式S=πr2。。

    数学领域中的知识博大精深,学之不尽。小学生们所学到的只是数学基础知识中的最基本的东西。因此,学校教学,要求学生掌握基本概念、基本定律、基本运算、演算例题等一些基础知识固然重要,但更重要的是,在小学数学中蕴藏着各种可运用转化的策略进行解答的内容,教师应重视通过这些内容的教学,让学生初步体会转化的策略。

    二、一一列举,枚举的策略。

    所谓枚举就是把事情发生的各种可能逐个罗列,并用某种形式进行整理,从而得到问题的答案。枚举是解决问题的常用策略之一。而且在枚举的时候要有序地思考,做到不重复、不遗漏,对发展思维也很有价值。对学生来说,“列举”比“枚举”通俗,易于接受,教材里采用“列举”这种表述是从有利于学习出发的。在表格里列举是形式之一,它的好处是有助于思考,能清楚地看到问题的各种答案。

    列举法是一个学生终生受益的方法。如:在教学《最大公因数》时,新课标中就选用了列举的方法,怎样求出1827的最大公因数。

    18的因数:1236918

    27的因数:13927

    1827的公因数:139

    1827的最大公因数:9

    在解决简单的实际问题的过程中,列举法也是一种非常重要的分析问题的策略,通过列举,将所有与问题有关的信息集于一体,能帮助学生整理信息,分析数量关系,寻找、探索解决问题的方法让学生自主整理信息,巧妙渗透对应思想,使学生初步意识到列举整理是一种常用的策略。

    三、数形结合,画图的策略。

    恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何意义,使数量关系精确的刻画与空间形式的直观形象巧妙和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,从而使问题得到解决。

    在小学数学中,一些问题比较抽象关系复杂,直接求解很棘手,但是能构造出相应的数学图形,进行分析、推理,从而解决问题。如:在教学《分数的基本性质》时,给学生三张同样大小的正方形纸,分别把 三个分数,涂上颜色表示在纸上。

    通过数形结合引导学生发现三个分数相等,学生容易看出,两等分中的一份,与四等分中的两份,与八等分中的四份,一样大。实际上都是把纸片的一半涂上颜色,所以三个分数的分子、分母虽然不同,但分数大小是相等的。然后再引导学生,探究“它们的分子、分母各是按照什么规律变化的?”先从左往右看,拿 比较,分子、分母同时乘上了2,结果分数的大小没有改变; 可由学生比较,再从右往左看。有了这些较为丰富的感性认识,就可以引导学生总结出规律。总结时,要引导学生讨论:分子和分母同时乘上或者除以相同的数,为什么零要除外?通过讨论,使学生明确,如果分子、分母都乘上0,则分数成为0,而分数的分母不能为0;又因为0不能作除数,所以分数的分子、分母也不能同时除以0

    数形结合是一项具体化的策略,通过直观图,可以帮助学生了解问题分析问题和解决问题,画图可以包括画线段图、平面图,实物图和示意图等。数形结合的策略可以充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来,帮助学生正确理解数量关系,使问题简明直观。

     

    四、提出设想,假设的策略。

    假设法是解决数学问题中的一个重要策略,就是根据题目中的已知条件或结论做出某种假设,把复杂问题化为简单问题处理。使所求的问题明朗化,这样我们就可以更快地找到解决问题的突破口了。但要注意的是,最后一定要去掉假设的成分,得到正确答案。

    鸡兔同笼 这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。笼中鸡、兔各有多少只?

    1.假设全为鸡。假如此时有人大喊口令:“兔子立正”此时兔子们则把两只前脚抬起,两只后脚着地,呈立正姿态,此时鸡兔都是两只脚着地。在地上脚的总数为35×2=70只(只),而原来共有94只脚,少了94-70=24(只),为什么会少呢?因为兔子们没把它们的2只前脚着地,所以兔子的只数是24÷2=12(只),则鸡是35-12=23(只)。

    2.假设全为兔。张景中院士独具匠心,他从学生的常识出发,自然地引出了解答。先问:“兔有四只脚,为什么鸡只有两只脚”这岂不是太不公平了吗?”经过思考,学生会找到理由:“不是不公平,鸡还有两只翅膀呢!”问:“如果翅膀也算脚,总共该有多少只脚?”这容易回答:35×4140140只脚。“但题中翅膀不算脚,只有94只脚,可见有多少翅膀呢?”“140944646只翅膀!”多的是鸡的46只翅膀。于是学生兴奋地喊出来:“23只鸡!”

    这种解法,每个学生都能立即理解,即使不再复习,半年后他们仍能回忆起来。同时这个例子告诉我们,要充分利用学生认知结构中已有的知识去创设问题情景,这样有利于学习。假设法,它是一种重要的数学思维方法,在解答数学问题时有着广泛的应用。一些数量关系比较隐蔽的应用题,用常规方法思考往往很难解答,然而巧用假设法却常能使隐蔽复杂的数量关系明朗化、简单化,从而迅速找到解题的思路。同时,由于假设的策略不同,因而解题思路各异。

    五、结果出发,逆推的策略。

    有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果,要想求出未知量,可以从最后结果出发,运用加与减,乘与除之间的互逆关系,从后往前一步一步地推算,这种方法叫做逆推法。这种思维方法我们称作逆向思维,在处理一些问题时经常要用到。有些应用题按顺向处理比较困难,或者会出现繁杂的运算,如果根据题目的条件,运用逆推法去解则方便得多。

    在小学数学中,有些问题的解答,就像走迷宫一样,如果从已知条件向所求问题推想下去,有时会比较困难,但是如果从所求问题出发,倒着想,回到已知条件,解起来反而比较容易,这种倒着想的思考方法,在数学的策略就叫做逆推的策略,这一类问题称为逆推问题也叫还原问题。如:“李白买酒”的问题。

    李白买酒

    无事街上走,提壶去买酒

    遇店加一倍,见花喝一斗

    三遇店和花,喝光壶中酒

    试问李白壶中多少酒?

     

    此题倒着思考就容易解了:

    第三次遇花前壶中有酒:0+1=1(斗)

    第三次遇店前壶中有酒:1÷2=1/2(斗)

    第二次遇花前壶中有酒:1/2+1=11/2)(斗)

    第二次遇店前壶中有酒:1(1/2)÷2=3/4(斗)

    第一次遇花前壶中有酒:3/4+1=1(3/4)(斗)

    第一次遇店前壶中有酒:1(3/4)÷2=7/8(斗)

    列综合式:[(1÷2+1)÷2+1]÷2=7/8()

    “逆推法的策略”是解决问题的有效方法之一,在小学阶段形成逆向思维能锻炼学生的创新能力,能引导学生自觉地从问题的不同角度去思考,从而提升解决问题的有效性。

    六、优中选优,统筹的策略。

    华罗庚先生提出的“优选法”已经广泛地应用于人们的生产和生活中了,现在这些思想已经形成了数学中一门应用性很强的分支──运筹学。统筹的策略,是合理安排工作,合理调度的一种科学方法,它是现代数学的一个重要分支,在当前各项工作中尽量做到节约经费,提高效率,加强计划性,更具有迫切的现实意义。

    这种策略的数学分支它是统筹学中的一部分内容。在新标程中也加入了这一数学策略的教学,四年级上册的数学广角中有这样一道题。妈妈让小明给李阿姨沏杯茶,洗开水壶1分钟,烧水8分钟,洗茶杯用2分钟,接水1分钟,找茶叶1分钟,沏茶1分钟,怎样才能尽快让客人喝上茶?

    比较三种方案哪一种能尽快让客人喝上茶?为什么做同样的事情,工序不同,所用的时间就不一样呢?第三种方案是因为同时作了三件事所以最节省时间,所以我们再做一些事情时,能同时作的事情越多,所用时间就越。这样使学生通过简单的事例使学生认识到解决问题策略的多样性,形成寻找解决问题最优方案的意识。初步体会运筹思想和对策论方法在解决实际问题中的应用。让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题。使学生面对实际问题时,能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略。形成从多种方案中寻找最优方案的意识,提高学生的解决问题的能力。

    学生可能有以下方案:

    ①洗水壶→接水→烧水→洗茶杯→找茶叶→沏茶  14

     

    ②洗水壶→接水→烧水→找茶叶→沏茶          12

    ③洗水壶→接水→烧水→沏茶                  11

    小学阶段是学生学习知识的启蒙时期,在这一阶段注意教给学生解决问题的策略便显得尤为重要。数学教师就肩负着培养学生解决问题策略的重任。我想一颗数学策略的种子,不管以何种方式植入学生的心田,它就会以人们难以置信的方式存活、生长起来,它的果实会成倍地膨胀、壮大!

     

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