我的数学之路
丘成桐

这问题当时对我而言，还是遥远不可及。但我对它念念不忘。在会议期中，我找到了一个办法，去反证Calabi的提议。我讨论了我的想法，反应似乎不错，没人提出异议。人们都松了口气，毕竟大家都猜对了，Calabi猜想是不对的。
    两个月后，Calabi教授写信给我，厘清了我的一些想法。我在推理中找到一个严重的决口。在我的研究生涯中，这可说是最痛苦的经历了。我辗转反侧，不能成眠。 
    差不多两个星期都失眠，眼见名誉因犯错（虽然我没把想法成文发表）而毁于一旦。经过反复仔细审阅每个步骤后，我相信问题反过来才对。为Calabi猜想举出反例，其论据是先假设它是对的，然后考虑其后果。数年后，当我解答了这个猜想，很多有关的自然推论就水到渠成了。
    意识到Calabi猜想是对的后，我便朝着正确的方向迈进。在准备最后的证明前，需要大量的准备工作。我和郑绍远合作研究Monge-Ampérc方程、仿射几何、极大曲面等相关问题。与Richard Schoen合作搞调和影照，与Richard Schoen和L.Simon搞极小曲面。在短短两年里，我们于与几何有关的非线性分析，硕果累累。这是几何学的黄金时代。 
    新婚伊始，我找到完成Calabi猜想的正确想法。我终于掌握了Kähler几何中的曲率的概念了。一些老大困难的代数几何问题，都因Calabi猜想的证明而解决掉。当时我认为我是首先了解到Kähler几何的曲率结构后，有物我相融的感觉∶落花人独立   微雨燕双飞 。这个工作影响至今，可以看最近的一个报导：
纽约时报  2003年9月2日
   宇宙一悬案  众人答案殊
   弦理论中的一个困难在于它要用十维的时空来描述，而我们生存的空间只有四维而已。Strominger博士回忆起他在找到数学家丘成桐博士的一份论文时的万分喜悦之情。丘博士现任教于哈佛大学及香港中文大学。在这篇文章里他证明了Eugenio Calabi博士提出的猜想。Calabi博士现已从Pennsylvania大学退休。猜想指出这些额外的维数虽然不可捉摸，但在微观下可以想象它们卷曲起来，就像地毯的小毛圈。
    完成Calabi猜想的证明后，我看出自己建立了融合两门重要科目——非线性偏微分方程和几何——的架构。一九七六年我在UCLA碰见老友Meeks，他是我在研究院时的同学。他的景况不大好。Meeks是位具原创性的数学家，我向他提议合作，试图把极小曲面和三维流形的拓朴联系起来。

结果成绩斐然。我们解决在这两门科目中的两个经典难题∶
1. 当一块肥皂膜的边界是凸时，膜面不能自相交。
2.  Smith猜想的证明，这是与Thurston工作结合的成果。一旦把方向校正了，很多古典问题便能迎刃而解。 
    次年，我回到伯克利访问，并组织了“几何上非线性问题”的研讨班。R.Schoen和郑绍远都在那儿。和R.Schoen一起，我们终于解决了那个使我念念不忘的有关广义相对论的难题。这道难题叫做正质量猜想，它在广义相对论中占基本的地位。（只有当质量为正时，时空才能稳定。） 
    1978年我又回到斯坦福。和萧荫棠一起，我们利用极小曲面作为工具，解决了复几何上有名的Frenkel猜想。我也利用了调和映照作为工具去研究复几何和离散群的刚性问题，以后萧荫棠在这方面有极大贡献。这些想法，迄今仍有其重要性。利用我们在广义相对论的工作，R.Schoen和我研究了具正纯量曲率的流形的结构。
    1979年我们在高等研究所举办微分几何年。差不多所有几何学家都来了。我们为几何学厘定了发展的方向。我提出一百条在几何里的有趣问题。到目前为止，有的已经解掉了，但有的还是迄立不动。1970年代确是几何学的丰收期。
    到了1970年代末期，我在数学界可说是略有名望。对于我解决的难题，媒体也有广泛报导。然而，认为我的奋斗目标是奖项，是成名成家，那就不对了。这些都不是本人研究的首要目标。我对数学的兴趣，源于人类智能足以参悟自然的欣喜。从几何上看，大自然的美是永恒不朽的。 
    与朋辈如R.Schoen、L.Simon、郑绍远、Meeks、K. Uhlenbeck、R. Hamilton，和稍后的S.Donaldson、H. Taubes、G. Huisken等人的共同努力下，几何上的非线性分析已汇成大流。它于探讨自然之美中的作用不容低估。晚近的进展更显示它在物理及其它应用科学中的重要性。 
     当几个重要领域——几何、非线性分析、代数几何、数学物理——自然地融合在一起后，经典的老大难题便会迎刃而解。解决难题可以视为人们理解大自然的路灯柱。
    但是几何学实在超越了科学家的想象，它日新月异，观念层出不穷，伟大的数学家C. F. 高斯(1817)曾说：
“窃意以为几何之本，其真伪实非人类心智所能证明，亦非人类心智所能理解者，余意于此，日久迩坚。此等空间之属性，莫测高深，后之来者，或有灼见，得窥堂奥。惟今之世，吾辈宜视几何学与纯先验之算术为殊途，宜彼与力学并列也。”
    在过去十年间，我和合作伙伴正在致力研究基本物理在几何中的作用。为了从物理中掌握动机后面的直观，我花了不少时间参加物理系办的研讨班。在与理论物理学家的交往中，我们获得了一些数学上深刻的定理。其中重要的概念是所谓对偶性。 
    对偶性这概念，优美典雅。它指出在某理论中的强作用等同于另一理论中的弱作用。这与中国道家谈阴阳有不少共通之处。但对偶性严格得多，同时它是定量的。利用它我们可以算出某些数学量。如果用其它方法来进行，那是极度困难的。 
    新的理论物理和现代几何的密切结合使我们觉得几何学会有一个革命性的改进，正如Gauss先生在二百年前的看法，我希望凭着我们从几何学唯美的直观能够帮助暸解大自然界的基本问题。
    为数学而数学，实属显然，何须三思。于无用诸物理学之种种数学理论，均需一视同仁，与其它理论无分轩轾。
 ——Henri Poincaró
    使余复稚年，童蒙初习，则愿从Plato之教晦，自数学始。

——Galilei Galileo